Strickler Monte Carlo

Principio di funzionamento

Questo strumento analizza il tirante idrico in una sezione fluviale utilizzando un approccio probabilistico. Invece di calcolare un singolo risultato basato su dati fissi, esegue migliaia di simulazioni per esplorare come le incertezze dei parametri di input influenzano il risultato finale. Questo approccio combina un modello idraulico consolidato con una moderna tecnica statistica.

1. Il modello idraulico: la formula di Gauckler-Strickler

Il calcolo deterministico alla base di ogni simulazione è la formula di Gauckler-Strickler, un'equazione fondamentale per lo studio del moto uniforme (condizioni di flusso costante) nei canali a pelo libero:

$$ Q = A \cdot K_s \cdot R_h^{2/3} \cdot \sqrt{i_f} $$

I termini dell'equazione sono:

• \(Q\) (Portata): il volume d'acqua che attraversa la sezione nell'unità di tempo, misurato in metri cubi al secondo [m³/s].
• \(A\) (Area bagnata): la superficie della sezione trasversale del flusso occupata dall'acqua, misurata in metri quadrati [m²].
• \(K_s\) (Coefficiente di Strickler): un indice che descrive la scabrezza delle pareti e del fondo del canale [m¹/³/s].
• \(R_h\) (Raggio idraulico): il rapporto tra l'area bagnata (\(A\)) e il perimetro bagnato (\(P\)). È una misura dell'efficienza idraulica della sezione.
• \(i_f\) (Pendenza del fondo): la pendenza della linea di fondo del canale, espressa come rapporto adimensionale [m/m].

Procedimento di risoluzione numerica

Poiché il tirante (\(h\)) non può essere esplicitato direttamente dalla formula di Strickler (è presente sia in \(A\) che in \(R_h\)), lo strumento utilizza un metodo numerico iterativo (il metodo di bisezione) per trovare la soluzione per ogni singola simulazione:

1. Si definisce una funzione obiettivo: \(f(h) = Q_{\text{calcolata}}(h) - Q_{\text{data}}\).
2. L'algoritmo cerca il valore di \(h\) per cui \(f(h) \approx 0\).
3. Partendo da un intervallo di altezze plausibili, il metodo dimezza l'intervallo a ogni iterazione, convergendo rapidamente verso la soluzione corretta con una tolleranza predefinita.

Scabrezza equivalente per sezioni composte

Quando il perimetro bagnato è composto da materiali diversi (es. fondo in ghiaia e sponde in terra), ognuno con un proprio coefficiente \(K_{s,i}\), è necessario calcolare un coefficiente di scabrezza medio equivalente (\(K_{s,eq}\)) per l'intera sezione. Questo simulatore utilizza la formula di Lotter, basata sulla media pesata delle lunghezze dei singoli tratti di perimetro (\(P_i\)):

$$ K_{s,eq} = \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i}{\sum_{i=1}^{n} \frac{P_i}{K_{s,i}^{3/2}}} \right)^{2/3} $$

2. La gestione dell'incertezza: il metodo Monte Carlo

Nel mondo reale, parametri come la portata o la scabrezza non sono mai valori certi. Sono stime affette da incertezza. Il metodo Monte Carlo è una tecnica computazionale che permette di propagare queste incertezze attraverso il modello matematico per ottenere non un singolo risultato, ma una distribuzione di possibili risultati.

Il processo seguito dal simulatore è il seguente:

1. Definizione del modello: il modello matematico è la formula di Strickler.
2. Identificazione delle incertezze: si definisce quali parametri di input non sono noti con certezza (portata, scabrezza, quota del fondo).
3. Campionamento casuale: per ogni simulazione (qui ne vengono eseguite 10'000), il computer genera un set di parametri di input "credibili" estraendoli a caso da specifiche distribuzioni di probabilità.
4. Simulazione ripetuta: il modello di Strickler viene risolto per ciascuno dei 10'000 set di parametri generati, producendo 10'000 possibili valori di tirante idrico.
5. Analisi statistica: la collezione di 10'000 risultati viene analizzata statisticamente per descriverne il comportamento complessivo (media, deviazione standard, percentili) e la distribuzione di probabilità.

3. Le distribuzioni di probabilità

Per rappresentare l'incertezza dei parametri di input, il simulatore utilizza la distribuzione Normale (o Gaussiana). È la distribuzione statistica più comune in natura per i fenomeni influenzati da molti fattori casuali. È caratterizzata da una forma a campana e definita da due soli parametri:

• Media (μ): rappresenta il valore più probabile o atteso del parametro. Corrisponde al picco della campana.
• Deviazione standard (σ): misura la dispersione o l'incertezza attorno alla media. Una σ piccola genera una campana stretta e alta (poca incertezza), mentre una σ grande genera una campana larga e piatta (molta incertezza).

I parametri trattati come incerti sono: la portata (\(Q\)), la scabrezza (\(K_s\)), e la quota del fondo (\(z\)).

4. Valori tipici del coefficiente di Strickler (\(K_s\))

La scelta del coefficiente di scabrezza è uno dei passaggi più delicati e influenti nel calcolo. Le tabelle seguenti forniscono un riferimento per la stima di \(K_s\), sia da fonti generali che da misurazioni specifiche su fiumi svizzeri.

Tabella dei valori di riferimento generali

Materiale / Condizione del canale	Descrizione	Ks [m¹/³/s] (da - a)
Corsi d'acqua naturali
Fondo con massi, alveo irregolare	Corsi d'acqua di montagna con pendenza elevata	15 - 25
Ghiaia grossolana, ciottoli	Alveo in stato naturale, pulito	25 - 35
Ghiaia fine, sabbia grossolana	Sezioni rettilinee e uniformi	30 - 40
Sabbia fine (limo)	Alveo con fondo liscio, meandriforme	35 - 50
Vegetazione e golene
Vegetazione fitta, cespugli (inverno)	Golene con vegetazione densa ma senza foglie	14 - 25
Vegetazione fitta, cespugli (estate)	Stessa area con fogliame denso	5 - 10
Erba corta e rada	Prato ben tenuto	28 - 40
Erba alta e fitta	Campo non sfalciato	18 - 25
Canali artificiali - Terra e Roccia
Canale in terra	Sezione pulita, rettilinea	45 - 50
Canale in terra con vegetazione	Presenza di erba e piccole piante	25 - 35
Canale scavato nella roccia	Superficie grezza, irregolare	20 - 30
Canale in roccia lisciata	Superficie lavorata o naturalmente levigata	40 - 50
Canali artificiali - Rivestimenti
Calcestruzzo lisciato	Superficie lavorata con cassaforma metallica	85 - 100
Calcestruzzo grezzo	Superficie da cassaforma in legno, non lavorata	70 - 85
Calcestruzzo con fondo in ghiaia	Fondo non rivestito	50 - 65
Muratura in pietra	Pietre squadrate e ben connesse	60 - 70
Metallo liscio	Acciaio o altre leghe non corrose	80 - 95

Valori di \(K_s\) misurati su corsi d'acqua svizzeri (Fonte: OFEG, 2001)

Corso d'acqua	Portata [m³/s]	Coefficiente \(K_s\) [m¹/³/s]
Minster - Euthal	30 - 140	36 - 38
Suze - Sonceboz	10 - 40	29 - 36
Gürbe - Belp	20 - 50	28 - 33
Emme - Burgdorf	100 - 250	31 - 32
Lütschine - Gsteig	60 - 120	24 - 27
Birse - Moutier	30 - 50	17 - 19
Thur - Stein	40 - 60	13 - 16

Stima analitica di \(K_s\) dalla granulometria

Un approccio più analitico consiste nello stimare la scabrezza a partire dalle caratteristiche fisiche del materiale di fondo. Il processo si articola in due fasi:

1. Stima della scabrezza equivalente di Nikuradse (\(k_s\)): si preleva un campione del materiale di fondo e si esegue un'analisi granulometrica per setacciatura, ottenendo una curva che descrive la distribuzione dei diametri dei grani. Da questa curva si estraggono i diametri caratteristici (es. \(d_{50}\) è il diametro mediano, \(d_{90}\) è il diametro non superato dal 90% dei grani). Varie formule empiriche legano questi diametri alla scabrezza fisica \(k_s\). Alcuni esempi sono:
   • \(k_s \approx d_{90}\) (Garbrecht, 1961)
   • \(k_s \approx 2 \cdot d_{65}\) (Engelund & Hansen, 1966)
   • \(k_s \approx 3.5 \cdot d_{84}\) (Hey, 1979)
2. Conversione da \(k_s\) a \(K_{st}\): una volta stimata la scabrezza fisica \(k_s\), la si può convertire nel coefficiente idraulico \(K_{st}\) tramite la formula di Meyer-Peter e Müller, valida per alvei con fondo mobile e grandi tiranti idrici:

   $$ K_{st} = \frac{26}{k_s^{1/6}} $$

   Dove \(k_s\) deve essere espresso in metri. Questo metodo è particolarmente utile per fiumi con fondo in ghiaia e fornisce una stima basata su dati misurabili.

5. Come interpretare i risultati

L'output della simulazione non è una risposta unica, ma un quadro completo delle possibilità:

• Istogramma di frequenza: visualizza la distribuzione dei 10'000 tiranti calcolati. Le barre più alte indicano gli intervalli di tirante più probabili.
• Probabilità cumulata (CDF): è il grafico più potente per l'analisi. Per un dato tirante \(h\) sull'asse orizzontale, il grafico mostra sull'asse verticale la probabilità che il tirante effettivo sia minore o uguale a \(h\). Questo si chiama "probabilità di non superamento".
• Statistiche e percentili: forniscono indicatori numerici chiave. La media è il valore atteso. Il 95° percentile, ad esempio, è quel valore di tirante che ha il 95% di probabilità di non essere superato.

6. Fonti e Riferimenti

• Spreafico, M., Hodel, H.P., Kaspar, H. (2001). Rauheiten in ausgesuchten schweizerischen Fliessgewässern. Berichte des BWG, Serie Wasser - Nr. 1. Bundesamt für Wasser und Geologie (BWG).
• Universität Karlsruhe (TH) (2003). Hydraulik naturnaher Fließgewässer, Teil 3 - Rauheits- und Widerstandsbeiwerte für Fließgewässer in Baden-Württemberg. Oberirdische Gewässer, Gewässerökologie 78. Landesanstalt für Umweltschutz Baden-Württemberg.
• Djajadi, R. (2009). Comparative Study of Equivalent Manning Roughness Coefficient for Channel with Composite Roughness. Civil Engineering Dimension, Vol. 11, No. 2, 113-118.